Родился в Петрограде.
В 1935 году поступил на биологический факультет и учился на кафедре зоологии позвоночных.
Сразу после окончания МГУ в августе 1941 года его призвали на военную службу. Сначала он был на курсах связистов на Урале. Участвовал в боях под Калугой, Белевым и Козельском. Но, так как в стране и на фронте очень осложнилась эпизоотическая обстановка (в действующей армии было много случаев туляремии, а в Забайкалье активизировались очаги чумы), в октябре 1942 года Дмитрия Ивановича направили на Читинскую противочумную станцию, где он работал зоологом до октября 1946 года.
Осенью 1946 года вернулся в Москву, поступил в аспирантуру в лабораторию медицинской зоологии института им. Гамалеи к Н.П. Наумову. Весной 1950 года после окончания аспирантуры и защиты кандидатской диссертации Дмитрий Иванович переехал а Алма-Ату на работу в Алма – Атинский противочумный институт. Широкое изучение сурков началось именно в Алма-Ате. В 1965 году Бибиков защитил докторскую диссертацию. В последующие годы вышли монографии: «Горные сурки Средней Азии и Казахстана», «Природные очаги чумы сурков в СССР», «Сурки». Не менее чем как выдающийся знаток сурков, известен Дмитрий Иванович как специалист по волку. Он стал сопредседателем рабочей группы по волку МСОП. Итогом его работы стала великолепная монография «Волк». В последние годы Дмитрий Иванович активно работал над книгой о сурках мира, изданной в 1996 г. в Германии на немецком языке и готовившейся к выходу на английском. Он также возглавил подготовку коллективной монографии «Беличьи и летяги» в серии «Звери России и сопредельных государств». И хотя возраст и напряженная работа начали сказываться на здоровье Дмитрия Ивановича, он плодотворно работал, часто публиковался как исследователь и как популяризатор научного подхода к проблеме охраны природы и рационального использования ее ресурсов, пропагандируя экологически взвешенный подход, исключающий крайности, независимо от того касается ли проблема сурков или волка. До конца своих дней он оставался объединяющим центром для очень многих зоологов разных поколений.
